Konsep Perkalian Titik (Dot Product) Dari Dua Vektor Beserta Contoh Soal dan Pembahasan

Gammafisblog.com – Pada kesempatan kali ini kita akan belajar mengenai perkalian dua buah vektor secara Dot Product. Pada dasarnya perkalian vektor dapat dibedakan menjadi dua, yaitu perkalian antara vektor dengan skalar dan perkalian antara dua buah vektor (Vektor dengan Vektor). Pada perkalian antara vektor dengan skalar tentu sangat mudah. Karena sifat perkaliannya seperti perkalian biasa menggunakan sifat Distributif. Yang mana nilai skalar akan dikalikan pada setiap komponen vektor.

Namun, beda halnya jika Anda melakukan operasi perkalian antara dua buah vektor. Perkalian dua buah vektor dapat di bedakan menjadi dua, yaitu perkalian Dot Product (Perkalian Titik) Dan Cross Product (Perkalian Silang). Kedua perkalian ini memiliki sifat dan cara pengoperasiannya masing-masing. Baik untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut ini.



Baca Juga : Rangkuman Besaran, Satuan, Dimensi, Vektor dan Skalar Materi Kelas 10 SMA

Perkalian Dot (atau Perkalian Titik) Dua Vektor : (A.B)

Jika dua buah vektor di kalian secara Dot Product (Perkalian Titik) maka hasil operasi dua buah vektor tersebut adalah sebuah nilai Skalar. Misalkan vektor A dan B di kalikan secara Dot, maka artinya kita memproyeksikan vektor A ke Vektor B. Memproyeksikan maksudnya menggambarkan panjang bayangan vektor A pada vektor B. Untuk memperoleh panjang proyeksi vektor ini maka kita menggunakan hubungan trigonometri pada segitiga. Perhatikan Gambar Di bawah ini.

Keterangan

α  adalah besar sudut yang di apit antara vektor A dan B ( 0 ≤ α ≤ 180)

|A| adalah Panjang Vektor (atau Besar Vektor) A

|B| adalah Panjang Vektor (atau Besar Vektor) B

Dari gambar di atas kita melakukan proyeksi vektor A ke Vektor B dengan panjang proyeksi vektor A pada B diperoleh dengan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku, sehingga diperoleh hasil proyeksi adalah |A| Cos α. Ketika kita memproyeksikan vektor A ke Vektor B, artinya kita mengalikan panjang vektor A pada B dengan Panjang vektor B. Sehingga hasil yang kita diperoleh hanyalah nilai skalar. Maka dari itu perkalian Dot Product atau Perkalian Titik sering kali di sebut sebagai perkalian Skalar (karena hasilnya adalah nilai Skalar).

Dari persamaan di atas, pada perkalian dua buah vektor secara Dot Product dapat di lihat bahwa terdapat nilai Cos α. Maka dari itu penting untuk memperhatikan tiga hal penting berikut ini.

Kedua Vektor Searah

Jika kedua vektor A dan B Searah, Artinya Sudut yang dibentuk Oleh kedua Vektor adalah 0. Sehingga nilai dari Cos 0 = 1. Maka

A.B = |A||B| Cos 0 = |A||B|

Kedua Vektor Tegak Lurus

Jika kedua vektor A dan B Tegak Lurus, Artinya Sudut yang dibentuk Oleh kedua Vektor adalah 90. Sehingga nilai dari Cos 90 = 0. Maka

A.B = |A||B| Cos 90 = 0

Kedua Vektor Berlawanan

Jika kedua vektor A dan B Berlawanan, Artinya Sudut yang dibentuk Oleh kedua Vektor adalah 180. Sehingga nilai dari Cos 180 = -1. Maka

A.B = |A||B| Cos 180 = -|A||B|

Panjang atau Besar Vektor

Untuk mencari besar atau panjang vektor maka bisa di dapat dengan cara menjumlahkan kuadrat dari tiap komponen vektor kemudian di akarkan. Atau bisa di sebut sebagai nilai mutlak dari vektor tersebut. Misalnya kita memiliki vektor A dengan komponen vektor pada setiap sumbu koordinat Kartesian 3D (x, y, z).

Perkalian Dot Product Dari Vektor Satuan.

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1 satuan. Vektor ini menyatakan arah dari sebuah vektor. Ketika dua buah vektor di kalikan secara dot. Maka perkalian dot dari vektor satuan adalah

Ingat Vektor Satuan Panjangnya adalah 1 Satuan. Jadi Ketika kedua vektor tegak lurus maka sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah 90 drajat. Karena nilai Cos 90 = 0, maka hasil perkalian vektor satuan yang tegak lurus adalah nol. Sedangkan ketika kedua vektor satuan berimpit atau searah maka nilai sudut yang dibentuk adalah 0 dan Cos 0 = 1. Maka hasil kali vektor satuan yang searah atau berimpit adalah 1. (Perhatikan Tabel dan Gambar Di atas)

Dengan menggunakan sifat perkalian vektor satuan di atas maka kita bisa mencari hasil perkalian dua buah vektor. Misalnya dua buah vektor A dan B sebagai berikut

Maka Nilai dari A.B adalah

Kalikan semuanya satu persatu, maka diperoleh

Jadi dapat disimpulkan bahwa dua buah vektor yang di kalikan secara dot sama dengan jumlah dari perkalian komponen yang searah.

Baca Juga : Fluida Statis, Tekanan Hidrostatis, Hukum Pascal, Archimedes, Rumus dan Contoh Soal

Sifat-Sifat Perkalian Titik (Dot Product)

Jika terdapat 3 buah vektor A, B dan C serta k adalah sebuah nilai Real. Maka sifat perkalian Titik (Dot Product) Memenuhi sifat aljabar yaitu Komutatif, Asosiatif, Dan Distributif

Contoh Soal dan Pembahasan Perkalian Titik (Dot Product) Dari Dua Vektor

Contoh soal 1

Hitunglah usaha yang diberikan Oleh sebuah gaya F sebesar 500 N pada sebuah benda sehingga membuat benda tersebut berpindah sejauh 2 m. Diketahui Bahwa gaya tersebut membentuk sudut sebesar 60° terhadap arah horizontal.

Solusi :

Diketahui:

F = 200 N

r = 2 m

Ditanya : Usaha ?

Usaha sebanding besarnya gaya F yang diberikan kepada benda tersebut sehingga mengakibatkan benda tersebut berpindah sejauh r.

Contoh Soal 2 :

Tentukan Hasil perkalian Titik (Dot Product) dari dua Vektor Berikut Ini

Solusi :

Jadi perkalian dari dua vektor tersebut adalah -56 Satuan. Yang mana satuannya tergantung dari besaran vektor yang dikalikan. Misalnya kita mengalikan vektor gaya dan perpindahan, maka satuannya adalah Nm.

Contoh Soal 3.

Tentukan Kedua Vektor di bawah ini.

Tentukanlah besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Solusi :

A.B = |A||B| cos ⁡  α

Sebelum kita mencari besar sudut yang dibentuk maka terlebih dahulu kita mencari besar atau panjang dari kedua vektor dan Perkalian Dot dari Kedua Vektor tersebut

*Panjang Vektor

*Perkalian Dot

Setelah kita mendapatkan Panjang Vektor dan Hasil Perkalian Dot kedua vektor maka dengan mudah kita mengetahui sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Jadi, besar sudut yang terbentuk oleh dua vektor tersebut adalah 4,88 drajat.

Baca Juga : Bunyi Hukum Charles, Rumus, Contoh Soal dan Penjelasan Lengkap

Itulah artikel tentang Konsep Perkalian Titik (Dot Product) Dari Dua Vektor Beserta Contoh Soal dan Pembahasan. Semoga artikel ini bermanfaat untuk Anda. Artikel ini saya buat agar mempermudah Anda dalam mempelajari konsep vektor dan perkalian titik (Dot Product) dari dua buah vektor. Terima kasih telah berkunjung dan sampai jumpa kembali.

Advertisement