Perkalian Vektor (Macam, Rumus, Sifat, dan Contoh Soal)

Perkalian Vektor (Macam, Rumus, Sifat, dan Contoh Soal) - Dalam pembahasan kali ini saya akan membahas tentang perkalian vektor lengkap dengan jenis dan macam, rumus, sifat maupun contoh soalnya. Pada dasarnya materi vektor dan perkalian vektor ini sudah diajarkan ketika di bangku sekolah. Bahkan perkalian pada vektor tersebut digunakan sebagai soal soal ujian sekolah. Untuk menyelesaikan contoh soal perkalian vektor tersebut, anda harus memahami macam macam perkalian pada vektor, rumus perkalian pada vektor ataupun sifat sifat perkalian vektor. Apa sebenarnya vektor itu? Pengertian vektor sendiri ialah besaran yang memiliki nilai dan arah.

Ilustrasi Vektor Dalam Fisika

Gambar di atas merupakan ilustrasi vektor dalam Fisika. Panjang garis di atas melambangkan besar vektor, sedangkan anak panah melambangkan arah vektornya. Gambar tersebut menggambarkan vektor A. Lalu apa saja macam macam perkalian vektor? Apa rumus perkalian vektor? Bagaimana sifat sifat perkalian vektornya? Bagaimana menyelesaikan contoh soal perkalian vektor? Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.

Perkalian Vektor (Macam, Rumus, Sifat, dan Contoh Soal)

Sebenarnya materi vektor baik itu jenis perkalian vektor, rumus perkalian vektor, sifat perkalian vektor hingga contoh soal perkalian vektor dapat dengan mudah kita temukan di jenjang sekolah menengah atas. Materi tersebut sering juga keluar dalam berbagai ujian mulai dari UAS, UTS, bahkan hingga Ujian Nasional. Karena dianggap penting, maka siswa harus mempelajari materi vektor ini dengan serius.

Dalam pembahasan ini terdapat beberapa penjelasan tentang perkalian vektor, baik macam macam, rumus, sifat maupun contoh soal vektor. Adapun macam macam perkalian pada vektor, rumus perkalian pada vektor, sifat sifat perkalian pada vektor dan contoh soal perkalian vektor akan saya jelaskan selengkapnya untuk anda. Berikut penjelasannya:

Materi Besaran Vektor (Pengertian, Rumus dan Contohnya)

Macam dan Jenis Perkalian Vektor

Operasi vektor tidak hanya mencakup operasi pengurangan maupun penjumlahan vektor saja. Tetapi adapula operasi perkalian vektor yang notabennya diajarkan di jenjang sekolah menengah. Untuk jenis operasi perkalian tersebut dapat dibagi menjadi tiga macam. Adapun macam macam perkalian vektor tersebut meliputi:

Perkalian vektor dengan skalar.
Perkalian silang atau cross product.
Perkalian titik atau dot product.

Ketiga macam perkalian vektor tersebut mempunyai rumus, sifat dan aturannya masing masing. Untuk itu saya akan menjelaskan lebih lanjut mengenai masing masing jenis perkalian pada vektor tersebut. Berikut penjelasan selengkapnya:

Perkalian Vektor Dengan Skalar

Macam perkalian vektor yang pertama ialah perkalian antara vektor dengan skalar. Perkalian ini mencakup perpindahan pada sebuah benda. Misalnya Ani mengendarai mobil menuju arah barat dengan kecepatan 40 km/jam. Kemudian terjadi perpindahan antara Ani dengan mobil setelah beberapa waktu. Seperti yang sudah kita ketahui bahwa perpindahan per selang waktu adalah kecepatan. Maka dari itu perpindahan yang terjadi pada Ani tersebut dapat dicari menggunakan persamaan atau rumus seperti di bawah ini:

s = vt

Keterangan :
s = Perpindahan (m)
v = Kecepatan (m/s)
t = Selang Waktu (s)

Dalam rumus perpindahan di atas terdapat jenis besaran skalar dan besaran vektor. Untuk kategori besaran skalar ialah waktu, sedangkan untuk kategori besaran vektor ialah kecepatan. Maka dari itu perkalian antara waktu dengan kecepatan tersebut menciptakan perpindahan yang pada akhirnya menghasilkan besaran vektor. Kesimpulannya adalah:

Perkalian vektor dengan skalar menghasilkan vektor

Jika perkalian antara vektor dengan skalar dinyatakan dalam bentuk sederhana dan sistematis akan menghasilkan aturan atau rumus tertentu. Berikut rumus perkalian vektor dengan skalarnya yaitu:

B = kA

Keterangan :
B = vektor B
k = skalar
A = vektor A

Rumus perkalian vektor di atas menghasilkan vektor B yang merupakan perkalian antara besar k dengan besar A. Jika k bernilai positif, maka vektor B memiliki arah yang sama dengan vektor A. Sedangkan jika k bernilai negatif, maka arah vektor B berlawanan dengan vektor A.

Perkalian Vektor Satuan Dengan Skalar
Rumus di atas juga berlaku untuk perkalian vektor satuan dengan skalar, baik untuk tiga dimensi maupun dua dimensi. Jika dijabarkan lebih lanjut maka rumus perkalian antara vektor satuan dengan skalar akan menjadi seperti di bawah ini:

Rumus Perkalian Vektor Satuan Dengan Skalar

Sifat Perkalian Vektor Dengan Skalar
Sifat perkalian vektor dengan skalar ialah distributif. Jika dinyatakan dalam bentuk persamaan maka sifat distributifnya akan menjadi seperti berikut:

k (A + B) = kA + kB

Contoh Soal Perkalian Vektor Dengan Skalar
Perhatikan gambar vektor A di bawah ini!

Apabila B = 1/2A, B = -1/2A, B = 2A, B = -2A. Buatlah gambar vektor B nya?

Jawab.
Untuk gambar perkalian vektor B = 1/2A memiliki arah vektor yang sama karena vektornya bernilai positif, dimana panjang vektor B setengah kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = 1/2 A

Untuk gambar perkalian vektor B = -1/2A memiliki arah vektor yang berlawanan karena vektornya bernilai negatif, dimana panjang vektor B setengah kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = -1/2A

Untuk gambar perkalian vektor B = 2A memiliki arah vektor yang sama karena vektornya bernilai positif, dimana panjang vektor B dua kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = 2A

Untuk gambar perkalian vektor B = -2A memiliki arah vektor yang berlawanan karena vektornya bernilai negatif, dimana panjang vektor B dua kali panjang vektor A. Maka gambarnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar B = -2A

Cara Menghitung Besar Sampel Dengan Rumus Slovin

Perkalian Titik atau Dot Product

Macam perkalian vektor selanjutnya ialah perkalian dot product atau titik. Untuk perkalian dot product ini dapat digambarkan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar Ilustrasi Perkalian Dot Product

Berdasarkan gambar di atas dapat kita peroleh vektor A sebagai hasil perkalian vektor dua buah titik diantara A dan B. Kemudian vektor B merupakan hasil perkalian antara komponen vektor B dengan vektor A yang arahnya sama. Adapula B cos α merupakan komponen dari vektor B yang arahnya sama dengan vektor A. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan maka dapat ditulis menjadi rumus perkalian titik vektor A dengan vektor B seperti di bawah ini:

A . B = AB cos α = |A| |B| cos α

Keterangan:
A = |A| ialah besar vektor pada A
B = |B| ialah besar vektor pada B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰

Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang kedua yaitu perkalian titik ialah:

Perkalian vektor antara dua buah titik menghasilkan skalar.

Perkalian titik dilambangkan dengan tanda titik atau dot product (.). Macam perkalian vektor ini menghasilkan skalar. Untuk itu perkalian titik juga dapat dinamakan dengan perkalian scalar product. Dalam perkalian ini terdapat beberapa hal penting yang harus diperhatikan seperti:

A . B = 0 → cos 90⁰ = 0, apabila vektor A tegak lurus dengan vektor B sehingga nilai α = 90⁰.
A . B = AB → cos 0⁰ = 1, apabila vektor A searah dengan vektor B sehingga nilai α = 0⁰.
A . B = -AB → cos 180⁰ = -1, apabila vektor A berlawanan arah dengan vektor B sehingga nilai α = 180⁰.

Perkalian Titik pada Vektor Satuan

Selanjutnya saya akan menjelaskan perkalian vektor tentang perkalian titik yang menggunakan vektor satuan. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar di bawah ini:

Ilustrasi Gambar Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

Berdasarkan gambar perkalian vektor di atas dapat kita lihat bahwa terdapat tiga vektor yang saling tegak urus yaitu vektor dengan satuan i, j dan k. Maka dari itu nilai α memiliki besar 90⁰, dimana ketiga vektor memiliki nilai = 1. Kemudian perkalian titik yang menggunakan vektor satuan ini menghasilkan aturan seperti di bawah ini:

Berhimpit maka i . i = j . j = k . k = 1 . 1 cos 0⁰ = 1
Tegak lurus maka i . j = i . k = j . k = 1 . 1 cos 90⁰ = 0

Berdasarkan perkalian titik menggunakan vektor satuan di atas menghasilkan persamaan di atas. Persamaan tersebut dapat digunakan untuk menghitung perkalian vektor kategori perkalian titik. Maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Penjabaran Perkalian Titik pada Vektor Satuan

Sifat Perkalian Titik
Untuk sifat perkalian vektor kategori perkalian titik tersebut ialah distributif dan komutatif. Adapun sifat distributif dan komutatif pada perkalian titik ialah:

A (B + C) = A . B + A . C (Distributif)
A . B = B . A (Komutatif)

Contoh Soal Perkalian Titik
Vektor perpindahan memiliki persamaan yaitu s = (3i + 4j - 2k) dan persamaan vektor gayanya yaitu F = (i + 2j + 3k). Berapakah nilai usahanya?

Pembahasan
Diketahui : s = (3i + 4j - 2k); F = (i + 2j + 3k)
Ditanyakan : W = ?
Jawab :
W = F . s
= (i + 2j + 3k) . (3i + 4j - 2k)
= (1 . 3) + (2 . 4) + (3 . -2)
= 3 + 8 - 6
= 5 Joule
Jadi besar usahanya ialah 5 Joule.

Perkalian Silang Vektor atau Cross Product

Macam perkalian vektor selanjutnya ialah perkalian cross product atau silang. Untuk perkalian cross product ini dapat digambarkan menjadi seperti di bawah ini:

Gambar Ilustrasi Perkalian Cross Product

Perkalian vektor antara vektor A dan B menggunakan metode silang dapat ditulis dengan A x B. Hal ini dapat menggambarkan antara vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B dimana letaknya tegak lurus dengan vektor A. Kemudian terdapat B sin α yang merupakan nilai tegak lurus antara komponen vektor B dengan vektor A. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan maka dapat ditulis menjadi rumus perkalian silang vektor A dengan vektor B seperti di bawah ini:

A x B = C
|A x B| = AB sin α

Keterangan :
|A x B| = hasil besar vektor dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
C = besar vektor lain dari perkalian silang vektor A dengan vektor B
α = sudut yang terbentuk pada vektor A dengan vektor B, dimana 0⁰ ≤ α ≤ 180⁰

Kesimpulan dari macam perkalian vektor yang ketiga yaitu perkalian silang ialah:

Perkalian vektor antara dua buah vektor menggunakan metode perkalian silang ialah suatu vektor pada bidang yang terbentuk oleh A dan B dengan arah yang tegak lurus.

Bagaimana cara menentukan arah vektor pada perkalian silang? Untuk itu dapat anda perhatikan gambar arah vektor di bawah ini:

Contoh Soal Gerak Parabola Lengkap Dengan Pembahasan

Arah Perkalian Silang A x B

Gambar Arah Perkalian Vektor A x B

Vektor A dan B membentuk vektor C yang memiliki arah tegak lurus dengan bidang. Maka dari itu hasil perkalian vektor A dan B akan menghasilkan arah vektor C yang menuju ke atas sampai tidak menembus bidang.

Arah Perkalian Silang B x A

Gambar Arah Perkalian Vektor B x A

Vektor B dan A membentuk vektor C yang memiliki arah tegak lurus dengan bidang. Maka dari itu hasil perkalian vektor B dan A akan menghasilkan arah vektor C yang menuju ke bawah sampai menembus bidang.

Dalam perkalian silang terdapat beberapa hal penting yang harus diperhatikan seperti:

Tidak berlaku perkalian silang dengan sifat komutatif. Maka persamaan A x B ≠ B x A.
Berlaku perkalian silang dengan sifat anti komutatif. Maka persamaan A x B = -B x A.
Vektor A tegak lurus dengan vektor B maka nilai α = 90⁰ dengan persamaan |A x B| = AB → sin 90⁰ = 1.
Vektor A searah dengan vektor B maka nilai α = 0⁰ dengan persamaan |A x B| = 0 → sin 0⁰ = 0.
Vektor A berlawanan arah dengan vektor B maka nilai α = 180⁰ dengan persamaan |A x B| = 0 → sin 180⁰ = 0.

Perkalian Silang Pada Vektor Satuan

Selanjutnya saya akan menjelaskan perkalian vektor tentang perkalian silang yang menggunakan vektor satuan. Hasil perkalian vektor dengan metode perkalian silang vektor satuan ini bernilai 1 untuk masing masing satuan i, j dan k. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan maka akan menjadi seperti di bawah ini:

i x i = 1.1 sin 0⁰ = 0
j x j = 1.1 sin 0⁰ = 0
k x k = 1.1 sin 0⁰ = 0

Untuk lebih jelasnya dapat anda simak gambar di bawah ini:

Ilustrasi Gambar Perkalian Silang Pada Vektor Satuan

Perkalian vektor dapat dihitung menggunakan metode perkalian silang vektor satuan ini. Apabila dijabarkan dalam bentuk persamaan maka hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:

Penjabaran Perkalian Silang pada Vektor Satuan

Sifat Perkalian Silang

Untuk sifat perkalian vektor kategori perkalian silang tersebut ialah anti komutatif, asosiatif dan distributif. Adapun sifat anti komutatif, asosiatif dan distributif pada perkalian silang yaitu:

A × B ≠ B × A (Anti Komutatif)
k(A × B) = (kA) × B = A × (kB) (Asosiatif)
A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (Distributif)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C) (Distributif)

Sekian penjelasan mengenai perkalian vektor, baik macam macam, rumus, sifat dan contoh soal. Macam macam perkalian pada vektor tersebut meliputi perkalian antara vektor dengan skalar, perkalian titik dan perkalian silang. Semoga artikel ini dapat bermanfaat dan selamat belajar.